离散数学中命题逻辑的真值表如下：
| P | Q | P ∧ Q | P ∨ Q | ¬ P | P → Q | P ↔ Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | F | T | T |
| T | F | F | T | F | F | F |
| F | T | F | T | T | T | F |
| F | F | F | F | T | T | T |
下面对各逻辑运算符进行解释：
- P ∧ Q（合取）：仅当 P 和 Q 同时为真时，其结果才为真，否则为假。
- P ∨ Q（析取）：只要 P 或者 Q（或者两者同时）为真，结果即为真，否则为假。
- ¬ P（否定）：若 P 为假，结果为真；若 P 为真，结果为假。
- P → Q（蕴含）：只有在 P 为真且 Q 也为真的情况下，结果才为真（否则为假），常被读作“若 P，则 Q” 。
- P ↔ Q（等价）：当且仅当 P 和 Q 的真值一致时，结果为真，否则为假。
以下通过具体例子来进一步说明
合取
假设有两个命题 P 和 Q：
- P：今天天气晴朗。
- Q：学校举行户外运动会。
逻辑与运算“P ∧ Q”代表“今天天气晴朗并且学校举行户外运动会”。只有当 P 和 Q 均为真时，整个表达式才是真的。
析取
依旧使用上述命题 P 和 Q。 逻辑或运算“P ∨ Q”表示“今天天气晴朗或者学校举行户外运动会”。只要 P 或者 Q（或者二者同时）为真，整个表达式就为真。
否定
使用命题 P：
- P：今天天气晴朗。
逻辑非运算“¬P”即“今天天气不晴朗”。当 P 为真时，¬P 为假；当 P 为假时，¬P 为真。
蕴含
例子 1：假设有两个命题 P 和 R：
- P：你完成了作业。
- R：你可以出去玩。
逻辑蕴含运算“P → R”表示“如果你完成了作业，那么你可以出去玩”。这里，P 是前提（前件），R 是结论（后件）。当 P 为真而 R 为假时，整个表达式为假；在其他情形下（即 P 为真 R 也为真，或者 P 为假时），整个表达式为真。需要注意的是，逻辑蕴含并不等同于因果关系，它仅仅关注真值之间的关联。在实际生活中，我们会说“如果完成了作业（P），那么就可以出去玩（R）”，但这并不表明完成作业是能够出去玩的唯一原因或者必要条件。
为了更好理解蕴含，再举一个例子： 例子 2：假设有两个命题 P 和 R：
- P：我当选美国总统。
- R：我就给你涨工资。
对于蕴含式 P → R ：
- 为真的情况：我当选了美国总统，并且我给你涨了工资，此时蕴含式结果为真 。
- 为假的情况：
- 我没有当选美国总统，那么无论我是否给你涨工资，整个蕴含式都为假 。
- 我当选了美国总统，但我没有给你涨工资，此时蕴含式结果为假。
等价
使用命题 P 和另一个命题 S：
- P：你完成了作业。
- S：你的作业已经提交。
逻辑等价运算“P ↔ S”表示“你完成了作业当且仅当你的作业已经提交”。当 P 和 S 的真值相同（即都为真或者都为假）时，整个表达式为真；否则为假。这意味着 P 和 S 在逻辑层面是等价的，它们的真假情况必然一致。