命题逻辑真值表

离散数学：命题逻辑真值表：

• P ∧ Q（合取）：当且仅当 P 和 Q 都为真时，结果为真，否则为假
• P ∨ Q（析取）：当 P 或 Q（或两者）为真时，结果为真，否则为假
• ¬ P（否定）：当 P 为假时，结果为真；当 P 为真时，结果为假
• P → Q（蕴含）：如果 P 为真则 Q 也必须为真，结果才为真（否则结果为假），这有时也被读作“如果 P，则 Q“
• P ↔ Q（等价）：当且仅当 P 和 Q 的真值相同时，结果为真。否则为假

举一些例子

1 合取

例子：假设有两个命题 P 和 Q。

• P：今天天气晴朗。
• Q：学校举行户外运动会。

逻辑与运算“P ∧ Q”表示“今天天气晴朗并且学校举行户外运动会”。只有当 P 和 Q 都为真时，整个表达式才为真。

2 析取

例子：同样使用命题 P 和 Q。

逻辑或运算“P ∨ Q”表示“今天天气晴朗或者学校举行户外运动会”。只要 P 或 Q（或两者）为真，整个表达式就为真。同样使用命题 P 和 Q。

逻辑或运算“P ∨ Q”表示“今天天气晴朗或者学校举行户外运动会”。只要 P 或 Q（或两者）为真，整个表达式就为真。

3 否定

例子：使用命题 P。

• P：今天天气晴朗。

逻辑非运算“¬P”表示“今天天气不晴朗”。当 P 为真时，¬P 为假；当 P 为假时，¬P 为真。

4 蕴含

例子 1：假设有两个命题 P 和 R。

• P：你完成了作业。
• R：你可以出去玩。

逻辑蕴含运算“P → R”表示“如果你完成了作业，那么你可以出去玩”。这里，P 是前提（前件），R 是结论（后件）。当 P 为真而 R 为假时，整个表达式为假；在其他情况下（即 P 为真 R 也为真，或 P 为假时），整个表达式为真。但值得注意的是，逻辑蕴含并不表示因果关系，它只关注真值关系。在实际应用中，我们可能会说“如果完成了作业（P），那么就可以出去玩（R）”，但这并不意味着完成作业是出去玩的唯一原因或必要条件。

蕴含理解起来可能有些绕，再来一个例子：

例子 2：假设有两个命题 P 和 R。

• P：我当选美国总统。
• R：我就给你涨工资。

蕴含式 P → R 为真的情况：

1. 我当了美国总统，我现在可以决定，是否给你涨工资，如果涨了（蕴含式结果为真）

蕴含式 P → R 为假的情况：

1. 如果我没当美国总统，那么我给你发不发工资也都不重要了（P 为假，不管 R 怎样，所以蕴含式都是假）
2. 我当了美国总统，我现在可以决定，是否给你涨工资，如果没涨（蕴含式结果为假）

5 等价

例子：使用命题 P 和另一个命题 S。

• P：你完成了作业。
• S：你的作业已经提交。

逻辑等价运算“P ↔ S”表示“你完成了作业当且仅当你的作业已经提交”。当 P 和 S 的真值相同时（即都为真或都为假），整个表达式为真；否则为假。这表示 P 和 S 在逻辑上是等价的，它们要么同时为真，要么同时为假。

· 2024年10月11日 · 被浏览 - 次