js是如何存储数字的

为什么要写这篇博客

最近在和同事午饭的时候聊到这个问题。想到了刚接触编程时粗略了解过，但是又没办法讲清楚，所以决定利用这篇博客复习一下。也希望给相关的二进制存储的疑问画上一个句号。

先来了解存储数字的标准

计算机是二进制的。浮点数是没有办法用二进制进行精确表示。我们的 CPU 表示浮点数由两个部分组成：指数 和 尾数，这样的表示方法一般会失去一定的精确度，有些浮点数运算也会产生一定的误差，是实数的无限精度跟计算机的有限内存之间的矛盾，通用语言中的浮点数都是按照 二进位浮点数算术标准 (IEEE 754)标准存储。

一般语言把数字区分整数型和小数型以不同标准存储，但是 js 比较特殊，在 js 中，不管是整数还是小数都是以 IEEE 754 标准中的 双精度浮点法 (Double 64)存储的。整数 1 被当成 1.0 存储。

那什么是双精度浮点法 ?

先来介绍一下 双精度浮点法，比起 单精度浮点法，双精度浮点法 使用 64 位二进制来储存一个浮点数。它可以表示二进位制的 53 位有效数字，其可以表示的数字的范围为

$$
[-(2^{53}), 2^{53} - 1]
$$

结构包含 64 位二进制位，分别是符号位，指数位，尾数位。

• sign bit（符号）：用来表示数值正负，0 代表数值为正，1 代表数值为负。占位 1 比特。
• exponent（指数）：用来表示次方数，占位越多，可以表示数字的范围越大。可以理解成它表示 小数点 在数字的什么位置上，这也是小数在计算机中被叫做浮点数的原因。占位 11 比特。
• mantissa（尾数）：用来表示精确度，可以理解成占位越多，那么保存小数点后更多的位数。占位 52 比特。

二进制转换

那么把一个数字存入到内存中是如何实现的呢？首先先把数字转换计算机可识别二进制格式再通过 双精度浮点法 存储，这里区分两种情况：整数和小数(整数部分和小数部分)

• 整数：整数除以 2，记录结果和余数。然后用上次结果继续除以 2，再次记录商和余数。重复这个步骤，直到商为 0 为止。那么所得余数从后往前排列就是这个整数的二进制。

• 小数：小数位乘以 2，记录结果，区分整数位和小数位，然后继续用小数位乘以 2，再次记录结果。重复这个步骤，直到小数位为 0 为止，那么其中得到的整数结果从前往后排列就是小数的二进制。

整数 8 转换二进制过程

8 / 2 = 4 // 余数 0
4 / 2 = 2 // 余数 0
2 / 2 = 1 // 余数 0
1 / 2 = 0 // 余数 1

然后把倒过来把余数排列，1000 就是 8 的二进制结果。

小数 0.25 转换二进制过程

0.25 * 2 = 0.5 // 整数位：0 小数位：0.5
0.5 * 2 = 1    // 整数位：1 小数位：0

整数位结果从前往后取出得到 01 就是 0.25 的二进制结果。

8.25 的二进制过程

实际拆解成整数位 8 和小数 0.25，分别按照对应的方法去转换，8 的二进制就是 1000，0.25 的二进制是 01，加个小数点合并到一起就是 1000.01，所以 8.25 的二进制为 1000.01。

以双精度浮点法存储到内存

按照上述步骤，8.25 转换二进制得到 1000.01，那么 1000.01 是如何以双精度浮点法存储的呢，第一步先用二进制科学记数法表示，得到 1.00001 * 2^3，然后我们把它拆分下，分别存入符号位，指数位，尾数位。

• 符号位存入 0，因为 1000.01 是正数
• 指数位存入 1026 的二进制 10000000010，指数应该是 3，为什么存入 1026 ? 参考下面标题为 为什么指数位要设置偏移量 ?
• 尾数位存入 00001，把 1.0001 小数点前的 1 省略，因为转换为二进制位后，只可能是 0 和 1，再进行二进制科学记数法，第一位一定大于 0，所以又排除了 0，所以小数点前的数只能是 1，就可以省略掉

至此使用双精度浮点法 8.25 存储的结果为：

为什么指数位要设置偏移量 ?

这里需要解释下，按照上面的例子，指数应该是 3，为什么存入 1026 ?

是因为指数位有 11 位，可以表示 0 ~ 2^11，也就是 0 ~ 2048， 因为指数可能 正 或 负 的，这种情况下计算机不仅仅要识别指数有多大，还需要识别是正是否，无疑增加了复杂度。

为了简化这个问题，指数位只存储无符号整数，所以使用了偏移量的概念，因为指数有正负， 0 ~ 2048 没办法表示负数，就把 0 ~ 2048 从中一刀切开，范围变成 -1024 到 +1024， 对了，其中还包括 0 ，就是 -1024 到 +1023 。存储的时候让原本的指数不管正负都加上1024 的偏移量，可以保证，存储的都是整数，当二进制转回十进制的时候，再减去 1024 就可以了，那 1024 + 3 应该是 1027 啊，为什么实际用了 1026 呢，因为人们为了特殊用处，不允许使用 0 和 1023 这两个数字表示指数，因为这两个极值，来表示一些特别的含义，比如 NaN，Infinity，0 等。这样的话少了 2 个数字，偏移量的设置自然就只好采用最大值 1023 了。因为-1023 + 1023 = 0，最小的指数为0，所以指数位 3 + 1023 为 1026 。这就是移码的概念。IEEE 754 的指数位采用移码来表示，为了实现表示的范围都是正数，而小数部分用原码来表示。

从内存中如何取出使用呢？

按照 双精度浮点法 存入内存的数字如何拿出来使用呢？先看转换公式：

$$
(-1)^{sign} \times 2^{exponent} \times (1 + mantissa)
$$

还是用 8.25 举例，符号位为 0，指数位为 1026 - 1023 (偏移量) = 3，尾数为 00001，可得：

$$
(-1)^{0} \times 2^{3} \times (1 + 0.00001) = 1 \times 1000.01
$$

把二进制结果 1000.01 转换为十进制，先把小数位按照第 1 位的值*2^(-1)，第 2 位的值*2^(-2)，第 3 位的值*2^(-3) …到最后一项 **第 n 位的值*2^(-n)**，然后把最后结果相加，因为 1000.01 只有两位小数位 .01，按照下面方法计算可得 0.25：

$$
0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} = 0.25
$$

整数位 1000 转十进制，和小数位计算方式一样，只是指数从负数换成整数就好了，最终结果是 8，把 小数位 和 **整数位 **结果加到一起就是最终结果了 8.25 了

$$
0 \times 2^{1} + 0 \times 2^{2} + 0 \times 2^{3} + 1 \times 2^{4} = 8
$$

总结

js 中数字存入内存的步骤：

• 分别把整数位、小数位转二进制
• 使用二进制科学计数法表示
• 按照双精度浮点法存入符号位、指数位、尾数位

数字从内存中步骤：

• 按照公式，替换符号、指数、尾数
• 得到的结果转十进制

扩展为什么 0.1 + 0.2 !== 0.3

从上文我们知道了一个数是如何存储的，那我们按照上面的方式模拟一下 0.1 + 0.2 的过程：

0.1 转换为二进制为 0.0001100110011(0011 循环)，因为尾数只能存储 52 位，没办法，就把 52 位以后截取掉了，实际存入结果为：

0.2 同理，也是循环二进制，存储结果为：

按照上面的方法分别转回十进制可得：

0.1 为 0.100000001490116119384765625

0.2 为 0.20000000298023223876953125

相加结果为 0.30000000447034836，原因就是在二进制中都只能精准表示 2 除尽的数字 1/2, 1/4, 1/8，当无法精准表示时，会舍弃存储。就好比，十进制的世界中，1/3，是 0.33333… 是无限循环的，如果人的理解也像计算机一样，是按照固定长度去表示的话，那是无法精准表示的一样。

计算机底层 · 2022年6月22日 · 被浏览 - 次